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<!DOCTYPE html>

<title>Skalarpotential</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Skalarpotential</h1>

</header>

</div>

Das Skalarpotential, oft einfach auch nur Potential genannt, ist in der Mathematik – im Unterschied zum <a href="Vektorpotential" title="Vektorpotential">Vektorpotential</a> – ein <a href="Skalarfeld" title="Skalarfeld"> skalares Feld</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy">, dessen <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> gemäß folgender Formel

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \ \Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/443b0e6433fbdf4a3a126246f2049e62fa743c1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.854ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \ \Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl>

ein „<a href="Gradientenfeld" title="Gradientenfeld">Gradientenfeld</a>“ genanntes Vektorfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fa50161813a42866a3a7a0e8c96ad8cac97dc8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> liefert.

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fa50161813a42866a3a7a0e8c96ad8cac97dc8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> ein <a href="Konservative_Kraft" title="Konservative Kraft">konservatives Kraftfeld</a>, in dem die Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> dem <a href="Prinzip_des_kleinsten_Zwanges" title="Prinzip des kleinsten Zwanges">Prinzip des kleinsten Zwanges</a> folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Definition</dd></dl>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \ \Phi ({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d94549ca7c922f3194dfbb16d089b6a41f7cbea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.504ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \ \Phi ({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}}).}" loading="lazy"></dd></dl>

Skalarpotentiale bilden u. a. die mathematische Grundlage der Untersuchung konservativer Kraftfelder wie des <a href="Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrischen</a> und des <a href="Gravitationsfeld" title="Gravitationsfeld">Gravitationsfelds</a>, aber auch von <a href="Wirbelfrei" class="mw-redirect" title="Wirbelfrei">wirbelfreien</a> sogenannten <a href="Potentialstr%C3%B6mung" title="Potentialströmung">Potentialströmungen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formale_Definition_und_Eigenschaften">Formale Definition und Eigenschaften</h2></div>

Ein <a href="Skalarfeld" title="Skalarfeld">Skalarfeld</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi \colon {\vec {r}}\mapsto \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi \colon {\vec {r}}\mapsto \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd8810215c2aae94ee9b50669b01ba39580d86e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi \colon {\vec {r}}\mapsto \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> ist genau dann ein Skalarpotential, wenn es in einem <a href="Einfach_zusammenh%C3%A4ngend" class="mw-redirect" title="Einfach zusammenhängend">einfach zusammenhängenden</a> Gebiet

<ol><li>zweimal <a href="Stetig_differenzierbar" class="mw-redirect" title="Stetig differenzierbar">stetig differenzierbar</a> ist, das heißt keine „Sprünge“, Stufen oder andere Unstetigkeitsstellen enthält;</li>

<li>zu ihm ein <a href="Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfeld</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}\colon {\vec {r}}\mapsto {\vec {F}}({\vec {r}})}">

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}\colon {\vec {r}}\mapsto {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63b5984ef33b6f462a09157ecf68817dd6494db4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.445ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}\colon {\vec {r}}\mapsto {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> existiert, so dass gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}">

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc021a58cb7b46c9cfc43a9b56d6207b4abe9d39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.66ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></li></ol>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> wird daher oft auch das zugehörige <a href="Gradientenfeld" title="Gradientenfeld">Gradientenfeld</a> genannt, das als <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> des Skalarpotentials <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> seinerseits stets folgende Bedingungen erfüllt:<a href="#cite_note-KEM_547-1">[1]</a>

<ol><li>Wegunabhängigkeit des <a href="Kurvenintegral" title="Kurvenintegral">Kurvenintegrals</a>: Der Wert des Kurvenintegrals entlang einer beliebigen Kurve S innerhalb des Feldes ist nur von ihrem Anfangs- und Endpunkt abhängig, nicht dagegen von ihrer <a href="Bogenl%C3%A4nge" class="mw-redirect" title="Bogenlänge">Länge</a>.</li>

<li>Verschwinden des <a href="Ringintegral" class="mw-redirect" title="Ringintegral">geschlossenen Kurvenintegrals</a> für beliebige Randkurven S: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint _{S}\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=\oint _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mover>

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</mrow>

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<msub>

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</msub>

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</mover>

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</mrow>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{S}\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=\oint _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a19acb43cacf8d0cfd85a3320d145f7011dfa9d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:33.926ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \oint _{S}\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=\oint _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=0}" loading="lazy"></li>

<li>Generelle Rotationsfreiheit bzw. <a href="Wirbelfrei" class="mw-redirect" title="Wirbelfrei">Wirbelfreiheit</a> des Feldes: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {rot} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))=\operatorname {rot} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))=\operatorname {rot} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15b30270ab2aeed1374b7eb21644696eba7b35c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.782ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))=\operatorname {rot} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}}" loading="lazy"></li></ol>

Es lässt sich zeigen, dass die zuletzt genannten drei Charakteristika eines Gradientenfelds einander mathematisch gleichwertig sind, das heißt allein schon die Erfüllung einer der drei Bedingungen genügt, damit auch die beiden anderen gelten.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Potentialfunktionen_und_harmonische_Funktionen">Potentialfunktionen und harmonische Funktionen</h2></div>

Bildet man mit Hilfe des <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operators</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"> die Summe der zweiten partiellen Ableitungen eines Skalarpotentials

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<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=\operatorname {div} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))=\operatorname {div} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}({\vec {r}})={\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial z^{2}}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a4d311f2456dcfe27db0521476e7bac84684d76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:81.74ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=\operatorname {div} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))=\operatorname {div} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}({\vec {r}})={\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial z^{2}}},}" loading="lazy"></dd></dl>

sind vom Prinzip her zwei Ergebnisse möglich:

<ol><li>Die Summe ist eine von Null verschiedene Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6665507c2623d9feed6e38a56bdcf19d6a9384a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.311ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f({\vec {r}})}" loading="lazy">, oder aber</li>

<li>Die Summe ist – als Sonderfall von 1) – stets gleich Null.</li></ol>

Ausgehend davon können skalare Potentiale noch einmal wie folgt klassifiziert werden:

<ul><li>Lösungen der als <a href="Poisson-Gleichung" title="Poisson-Gleichung">poissonsche Differentialgleichung oder Poisson-Gleichung</a> bezeichneten Potentialgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=f({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=f({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5490b3e5b5cd7c999424c41764d91f6d2d20c33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.056ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=f({\vec {r}})}" loading="lazy"> werden Potentialfunktionen (oder auch einfach nur Potentiale) genannt.</li>

<li>Lösungen der als <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">laplacesche Differentialgleichung oder Laplace-Gleichung</a> bezeichneten Potentialgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a8c3a55e361534c4957900b49a60e31a9f711a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.907ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}" loading="lazy"> (als eines Sonderfalls der poissonschen Gleichung) werden außerdem als <a href="Harmonische_Funktion" title="Harmonische Funktion">harmonische Funktionen</a> bezeichnet.<a href="#cite_note-Papula85-2">[2]</a> Harmonische Funktionen sind dementsprechend Sonderfälle von Potentialfunktionen, die außerdem die Laplace-Gleichung erfüllen. Manche Autoren allerdings benutzen beide Bezeichnungen <a href="Synonymie" class="mw-redirect" title="Synonymie">synonym</a>, so dass auch die Begriffe „Potential“ beziehungsweise „Potentialfunktion“ bei ihnen nur Lösungen der Laplace-Gleichung meinen, das heißt „jede Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy">, die nach allen drei Veränderlichen zweimal stetig differenzierbar ist und dabei in einem gewissen Gebiet des Raumes die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a8c3a55e361534c4957900b49a60e31a9f711a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.907ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}" loading="lazy"> erfüllt, eine Potentialfunktion oder auch harmonische Funktion in diesem Gebiet“<a href="#cite_note-KEM_743-3">[3]</a> genannt wird und auch die Definition der <a href="Potentialtheorie" title="Potentialtheorie">Potentialtheorie</a> in diesem Fall lediglich Laplace-Potentiale berücksichtigt: „Die Potentialtheorie ist die Theorie der Lösungen der Potentialgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta U=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta U=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc15afdcbd260089782229afb870e314bf021913.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.979ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta U=0}" loading="lazy">.“<a href="#cite_note-KEM_743-3">[3]</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Poisson-_und_Laplace-Felder">Poisson- und Laplace-Felder</h3></div>

Die sich als Gradienten eines skalaren Potentials ergebenden Vektorfelder sind stets wirbelfrei und werden daher – im Gegensatz zu „<a href="Feldtheorie_(Physik)#Wirbelfeld" title="Feldtheorie (Physik)">Wirbelfeldern</a>“ – oft unter dem Überbegriff „<a href="Feldtheorie_(Physik)#Quellenfeld" title="Feldtheorie (Physik)">Quellenfelder</a>“ zusammengefasst,<a href="#cite_note-Schwab18-4">[4]</a> was nicht heißt, dass sie deshalb nicht trotzdem <a href="Quellenfrei" class="mw-redirect" title="Quellenfrei">quellenfrei</a> sein können.

Je nachdem nämlich, ob es sich bei den zugrundeliegenden Potentialen lediglich um Lösungen einer Poisson-Gleichung oder außerdem der Laplace-Gleichung handelt, kann man auch die aus ihnen gewonnenen Gradientenfelder noch einmal wie folgt klassifizieren:

<ul><li>Gradientenfelder, die sich aus Lösungen einer Poisson-Gleichung mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\vec {r}})\neq 0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\vec {r}})\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a53a45efbfa771e15631dbfdf9da8111ce645aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.572ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f({\vec {r}})\neq 0}" loading="lazy"> ergeben, werden „Poisson-Felder“ oder auch „Newton-Felder“ genannt und sind lediglich wirbelfrei.<a href="#cite_note-Schwab18-4">[4]</a> Anders gesagt: Beruht ein skalares Potential auf einer Raum(ladungs)dichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c80c262b5476b043478d88adb73498aac8b80de9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.234ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}" loading="lazy"> und ist es damit eine partikuläre Lösung einer entsprechenden inhomogenen (poissonschen) Differentialgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdec4e6f65aa0dad7d5db8182ce4667c50c8d76d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}})}" loading="lazy">, wird das sich aus dem Potential ableitende Gradientenfeld „Poisson-Feld“ bzw. „Newton-Feld“ genannt. Beispiele solcher Felder sind etwa das <a href="Gravitationsfeld" title="Gravitationsfeld">Gravitationsfeld</a> oder das <a href="Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrische Feld</a> in Abwesenheit einer entgegengesetzten zweiten Ladung, deren Wirkung damit stets räumlich unbegrenzt ist.</li>

<li>Gradientenfelder harmonischer Funktionen dagegen, die sich aus Lösungen der Laplace-Gleichung (bzw. einer Poisson-Gleichung mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f({\vec {r}})=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\vec {r}})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db39e05f225e5346e76e7600c07c60a2ee4b056b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.572ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f({\vec {r}})=0}" loading="lazy">) ergeben, werden „Laplace-Felder“ genannt und sind außerdem <a href="Quellenfrei" class="mw-redirect" title="Quellenfrei">quellenfrei</a>.<a href="#cite_note-Papula85-2">[2]</a> Anders gesagt: Beruht ein skalares Potential auf einer Flächen(ladungs)dichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc162aedd9af177d260e63cb406918f4937c3be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.362ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma ({\vec {r}})}" loading="lazy"> auf der Oberfläche geladener Körper und ist es dabei die homogene Lösung einer homogenen (laplaceschen) Differentialgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a8c3a55e361534c4957900b49a60e31a9f711a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.907ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=0}" loading="lazy"> für die entsprechend gewählten Randbedingungen, wird das sich aus dem Potential ableitende Gradientenfeld „Laplace-Feld“ genannt. Beispiele solcher Felder sind etwa das <a href="Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrische Feld</a> in Anwesenheit einer entgegengesetzten zweiten Ladung, auf der die von der ersten Ladung ausgehenden Feldlinien enden. „Laplace-Felder“ besitzen also stets einen „Rand“ im Endlichen, während dieser bei „Poisson–“ bzw. „Newton-Feldern“ quasi im Unendlichen liegt.</li></ul>

Für die Superposition beider Feldtypen schließlich lässt sich in der Regel eine sogenannte totale Potentialfunktion formulieren, die die Summe je einer partikulären und homogenen Lösung der obengenannten Differentialgleichungen ist.<a href="#cite_note-Schwab18-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>

Das mit Abstand bekannteste Skalarpotential ist das sogen. „newtonsche Potential“

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{|{\vec {r}}|}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2316e7cdd13fb08b4f53e041aafe42d56de6116e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.809ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{|{\vec {r}}|}},}" loading="lazy"></dd></dl>

das allerdings nur im Dreidimensionalen, also für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bba79a34348a3f1af1c2efa2118a9b8686fb1545.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.625ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}" loading="lazy">, eine die Laplace-Bedingung erfüllende harmonische Funktion ist. Umgekehrt ist das dem „newtonschen Potential“ im Zweidimensionalen vergleichbare „logarithmische Potential“<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=\operatorname {ln} (|{\vec {r}}|)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35c52edcb5efd973c9e054ff0152cbbd98076f00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.074ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})=\operatorname {ln} (|{\vec {r}}|)}" loading="lazy"></dd></dl>

ebenso wie die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ln} \left({\frac {1}{r}}\right)=-\operatorname {ln} (r)}">

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ln} \left({\frac {1}{r}}\right)=-\operatorname {ln} (r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b822962c2ba69039b5646328f853ba7263d29244.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.45ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ln} \left({\frac {1}{r}}\right)=-\operatorname {ln} (r)}" loading="lazy"> nur dort, also für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdb2a5f9d5d6102af609d3730471b017b2ac7ee4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.64ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}" loading="lazy">, eine harmonische Funktion, im Dreidimensionalen dagegen ein gewöhnliches Potential mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{r^{2}}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5037ff15b37d0d3fb6d80fec1699523f98fa9d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:9.651ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{r^{2}}}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \Phi =-{\frac {1}{r^{2}}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi =-{\frac {1}{r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e6289891ec539c95d70240b34c5a91c03a478fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:11.46ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi =-{\frac {1}{r^{2}}}}" loading="lazy">. Ebenfalls nur für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy"> definierte harmonische Funktionen sind außerdem die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi (x,y)=e^{x}\cdot \sin(y)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi (x,y)=e^{x}\cdot \sin(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9661801c3955a98401ca234089d289daf9a1329e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.86ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi (x,y)=e^{x}\cdot \sin(y)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi (x,y)=e^{x}\cdot \cos(y)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi (x,y)=e^{x}\cdot \cos(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2de172d758ce304b41ffcf44bce7c9a950a986e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi (x,y)=e^{x}\cdot \cos(y)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Der Begriff Potential in seiner heutigen mathematischen Bedeutung geht auf den französischen Mathematiker <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> zurück, der bei der Untersuchung des <a href="Newtonsches_Gravitationsgesetz" title="Newtonsches Gravitationsgesetz">newtonschen Gravitationsgesetzes</a>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=-G\ {\frac {m_{0}\cdot m_{1}}{r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a735c8fd80022e0d242b3f7b8707769fa1809de6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.759ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle F=-G\ {\frac {m_{0}\cdot m_{1}}{r^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

schon 1773 feststellte, dass die Komponenten-Zerlegung der Kraft F, der eine Punktmasse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{0}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a6ff51ee949104fe6fae553cfbdfba29d5fac1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{0}}" loading="lazy"> im Gravitationsfeld einer zweiten Punktmasse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31aafa60e48d39ccce922404c0b80340b2cc777a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{1}}" loading="lazy"> ausgesetzt ist, auf drei Teilkräfte Fx, Fy und Fz hinausläuft, die allesamt als partielle Ableitungen einer gemeinsamen skalaren „Stammfunktion“ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(x_{0};y_{0};z_{0})}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(x_{0};y_{0};z_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/457c8e004443689df0ded5391e7b746773628d38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U(x_{0};y_{0};z_{0})}" loading="lazy"> interpretiert werden konnten:<a href="#cite_note-KEM_741-6">[6]</a>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})&={-G\,m_{0}}\ {\frac {m_{1}}{r^{2}}}\ {\hat {\vec {r}}}_{10}\\&={-G\,m_{0}}\ {\frac {m_{1}}{r^{3}}}{\begin{pmatrix}x_{0}-x_{1}\\y_{0}-y_{1}\\z_{0}-z_{1}\end{pmatrix}}={\vec {F}}_{x}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})+{\vec {F}}_{y}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})+{\vec {F}}_{z}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})\\&={-G\,m_{0}\,m_{1}}\,{\frac {x_{0}-x_{1}}{r^{3}}}\,{\hat {\vec {x}}}\ {-G\,m_{0}\,m_{1}}\,{\frac {y_{0}-y_{1}}{r^{3}}}\,{\hat {\vec {y}}}\ {-G\,m_{0}\,m_{1}}\,{\frac {z_{0}-z_{1}}{r^{3}}}\,{\hat {\vec {z}}}\\&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({G\,m_{0}}\,{\frac {m_{1}}{r}}\right)\,{\hat {\vec {x}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({G\,m_{0}}\,{\frac {m_{1}}{r}}\right)\,{\hat {\vec {y}}}+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({G\,m_{0}}\,{\frac {m_{1}}{r}}\right)\,{\hat {\vec {z}}}\\&\quad \ {\text{mit}}\ \ r=\left((x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+(z_{0}-z_{1})^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7644e2d7447662264f2c0fe8a21603acad7081ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -14.838ex; width:76.248ex; height:30.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})&={-G\,m_{0}}\ {\frac {m_{1}}{r^{2}}}\ {\hat {\vec {r}}}_{10}\\&={-G\,m_{0}}\ {\frac {m_{1}}{r^{3}}}{\begin{pmatrix}x_{0}-x_{1}\\y_{0}-y_{1}\\z_{0}-z_{1}\end{pmatrix}}={\vec {F}}_{x}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})+{\vec {F}}_{y}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})+{\vec {F}}_{z}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})\\&={-G\,m_{0}\,m_{1}}\,{\frac {x_{0}-x_{1}}{r^{3}}}\,{\hat {\vec {x}}}\ {-G\,m_{0}\,m_{1}}\,{\frac {y_{0}-y_{1}}{r^{3}}}\,{\hat {\vec {y}}}\ {-G\,m_{0}\,m_{1}}\,{\frac {z_{0}-z_{1}}{r^{3}}}\,{\hat {\vec {z}}}\\&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({G\,m_{0}}\,{\frac {m_{1}}{r}}\right)\,{\hat {\vec {x}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({G\,m_{0}}\,{\frac {m_{1}}{r}}\right)\,{\hat {\vec {y}}}+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({G\,m_{0}}\,{\frac {m_{1}}{r}}\right)\,{\hat {\vec {z}}}\\&\quad \ {\text{mit}}\ \ r=\left((x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+(z_{0}-z_{1})^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wie zu sehen, ist die gefundene „Stammfunktion“ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(x_{0};y_{0};z_{0})}">

<msub>

</mrow>

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<msub>

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</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(x_{0};y_{0};z_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/457c8e004443689df0ded5391e7b746773628d38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.373ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U(x_{0};y_{0};z_{0})}" loading="lazy"> dabei für alle Punkte des Raums außer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1}|y_{1}|z_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

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</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1}|y_{1}|z_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aac728f6d9677d95699e4c6b0709e5a9f42baa03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.816ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1}|y_{1}|z_{1})}" loading="lazy"> definiert, und sie ist außerdem ein Maß der (negativen) potentiellen Energie von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a6ff51ee949104fe6fae553cfbdfba29d5fac1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{0}}" loading="lazy"> im Kraftfeld der Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31aafa60e48d39ccce922404c0b80340b2cc777a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{1}}" loading="lazy">:

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{pot}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})=-{G\,m_{0}}\,{\frac {m_{1}}{r}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/400b2dfb5f8c6dc5b1c155bade97a1529e2f7d21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:26.834ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle W_{pot}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})=-{G\,m_{0}}\,{\frac {m_{1}}{r}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenig später unter dem Potentialbegriff zusammengefasst, fand diese Entdeckung ihre Fortführung in den Arbeiten des englischen Mathematikers und Physikers <a href="George_Green" title="George Green">George Green</a>, der 1828 in seinem Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism den Begriff der <a href="Potentialfunktion" class="mw-redirect" title="Potentialfunktion">Potentialfunktion</a> prägte. In erster Linie aber war es schließlich <a href="Carl_Friedrich_Gauss" class="mw-redirect" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a>, der 1840 (nach anderen Quellen bereits 1836) den Begriff des Potentials und seine Theorie weiter vertiefte und popularisierte.<a href="#cite_note-KEM_741-6">[6]</a><a href="#cite_note-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Begriffsabgrenzungen">Begriffsabgrenzungen</h2></div>

Der Gebrauch des Potentialbegriffs ist leider aus historischen Gründen oft uneinheitlich. So ist etwa häufig unklar, ob mit dem Wort „Potential“ nun das betreffende Skalarfeld gemeint ist, also die betreffende Ortsfunktion, oder aber einer ihrer Funktionswerte.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mathematischer_und_physikalischer_Potentialbegriff">Mathematischer und physikalischer Potentialbegriff</h3></div>

So darf der Begriff des Potentials in seiner mathematischen Bedeutung – als ein skalares Feld mit bestimmten, zunächst einmal rein abstrakt geforderten Eigenschaften – vor allem nicht mit dem physikalischen „<a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a>“-Begriff verwechselt werden, aus dem er ursprünglich hervorging.

Einem Begriff, der dort in erster Linie die Fähigkeit eines konservativen Kraftfelds bedeutet, einen ihm ausgesetzten Körper eine Arbeit verrichten zu lassen, für gewöhnlich ausgedrückt durch das Verhältnis seiner potentiellen Energie und Ladung bzw. Masse. Das aber kann sowohl heißen, dass man es in dem gegebenen Zusammenhang mit dem skalaren Feld zu tun hat, das dieses Verhältnis in Form seiner Funktionswerte wiedergibt, oder aber, dass mit dem „Potential“ die einzelnen Funktionswerte des Felds an der betreffenden Stelle selbst gemeint sind, etwa das <a href="Elektrische_Spannung#Elektrisches_Potential" title="Elektrische Spannung">elektrische</a> oder das <a href="Gravitationspotential" class="mw-redirect" title="Gravitationspotential">Gravitationspotential</a>, gemessen in Volt (= J/C) bzw. J/kg.

Hinzu kommt, dass sich, was ihre mathematischen Eigenschaften angeht, auch die <a href="Potentielle_Energie" title="Potentielle Energie">potentielle Energie</a> eines Körpers in einem konservativen Kraftfeld selbst als Skalarpotential beschreiben lässt,<a href="#cite_note-KEM_741-6">[6]</a> ganz zu schweigen von dem nur noch mathematisch ein Potential darstellenden <a href="Geschwindigkeitspotential" title="Geschwindigkeitspotential">Geschwindigkeitspotential</a> der Fluiddynamik.

So kann ganz allgemein (fast) jedes physikalische Potential durch ein mathematisches modelliert werden, während umgekehrt nicht jedes mathematische Potential auch eines im Sinne der Physik ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Potentialvektoren_und_Potentialfelder">Potentialvektoren und Potentialfelder</h3></div>

Ein weiteres Problem rührt aus dem Umstand, dass der Begriff „Potential…“ auch in einigen Wortbildungen verwendet wird, bei denen dadurch nicht klarer wird, ob damit nun skalare oder vektorielle Größen bzw. Felder gemeint sind, etwa in Termini wie „<a href="Vektorpotential" title="Vektorpotential">Vektorpotential</a>“, „<a href="Potentialvektor" class="mw-redirect" title="Potentialvektor">Potentialvektor</a>“ oder „<a href="Potentialfeld" class="mw-redirect" title="Potentialfeld">Potentialfeld</a>“. So könnte man gerade bei letzterem annehmen, dass damit das skalare Feld des Potentials selbst gemeint ist – die überwiegende Zahl der Autoren aber benutzt diesen Ausdruck nicht dafür, sondern für das aus dem jeweiligen Potential abgeleitete Vektorfeld der Potential- bzw. Gradientvektoren.<a href="#cite_note-8">[8]</a><a href="#cite_note-9">[9]</a>

Analog bezeichnen manche Autoren die Vektoren, aus denen sich Gradientenfelder zusammensetzen, zur besseren Abgrenzung zwischen dem <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradienten als mathematischem Operator</a> und dem Resultat seiner Anwendung als Gradientvektoren,<a href="#cite_note-10">[10]</a> andere dagegen mit Blick auf die (skalaren) Potentiale, aus denen sie sich herleiten, als Potentialvektoren.<a href="#cite_note-KEM_547-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beziehungen_zwischen_Skalar-_und_Vektorpotential">Beziehungen zwischen Skalar- und Vektorpotential</h2></div>

Wirbelfelder, die Rotationen eines anderen Vektorfelds sind, sind stets quellenfrei – quellenfreie Vektorfelder können daher umgekehrt immer auch als Rotation eines anderen Vektorfelds interpretiert werden, das man in diesem Fall als „<a href="Vektorpotential" title="Vektorpotential">Vektorpotential</a>“ des betreffenden quellenfreien Vektorfelds bezeichnet.<a href="#cite_note-Papula85-2">[2]</a>

Gemäß dem Fundamentalsatz der <a href="Vektoranalysis" title="Vektoranalysis">Vektoranalysis</a>, auch <a href="Helmholtz-Theorem" title="Helmholtz-Theorem">Helmholtz-Theorem</a> genannt, kann dabei (fast) jedes Vektorfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0abab403dc55507e7c8b701dbf7c117ac4642a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.096ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> als <a href="Superposition_(Physik)" title="Superposition (Physik)">Superposition</a> zweier Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}">

<mover>

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<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fa50161813a42866a3a7a0e8c96ad8cac97dc8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> und

<mover>

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</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {G}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6930afdea5949a06ccaefcd290fedff8dd42d0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.859ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {G}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> aufgefasst werden, deren erste der <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> eines Skalarpotentials <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> ist, die zweite dagegen die <a href="Rotation_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Rotation (Mathematik)">Rotation</a> eines <a href="Vektorpotential" title="Vektorpotential">Vektorpotentials</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}">

<mover>

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</mrow>

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6431d5972caefeac0d8f5ef4d88d44bef3ab734f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.485ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}" loading="lazy">:

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/987ea6ec00c50cf5ad4fba3553df47475c42a783.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:66.734ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fa50161813a42866a3a7a0e8c96ad8cac97dc8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.803ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> dem <a href="Prinzip_des_kleinsten_Zwanges" title="Prinzip des kleinsten Zwanges">Prinzip des kleinsten Zwanges</a> folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba99523bf7daaafcf39bab5b1e7282e53a3effdb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:71.385ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-KEM_547-1">↑ <a href="#cite_ref-KEM_547_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-KEM_547_1-1">b</a> Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, <a href="Herbert_K%C3%A4stner" title="Herbert Kästner">Herbert Kästner</a> (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 547–548.

</li>

<li id="cite_note-Papula85-2">↑ <a href="#cite_ref-Papula85_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-Papula85_2-1">b</a> <a href="#cite_ref-Papula85_2-2">c</a> Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung, Band 3; Vieweg + Teubner, 2008, S. 85–92.

</li>

<li id="cite_note-KEM_743-3">↑ <a href="#cite_ref-KEM_743_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-KEM_743_3-1">b</a> Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 743–746.

</li>

<li id="cite_note-Schwab18-4">↑ <a href="#cite_ref-Schwab18_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-Schwab18_4-1">b</a> <a href="#cite_ref-Schwab18_4-2">c</a> Adolf J. Schwab; Begriffswelt der Feldtheorie; Springer, 2002, S. 18–20.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 746.

</li>

<li id="cite_note-KEM_741-6">↑ <a href="#cite_ref-KEM_741_6-0">a</a> <a href="#cite_ref-KEM_741_6-1">b</a> <a href="#cite_ref-KEM_741_6-2">c</a> W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 741–742.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I; Leipzig 1954, S. 160.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/ingws9/mo1412.pdf">§4 Potentialfelder.</a> (PDF; 1,8 MB) In: Mathematik für Ingenieure III. WS 2009/2010, Universität Kiel.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. Springer, Berlin/Heidelberg, S. 322.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 579.

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